Équation du quatrième degré (2) - Corrigé

Énoncé

1. Montrer que, pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , \(z^4-10z^3+38z^2-90z+261 = 0 \iff (z^2+9)(z^2-10z+29) =0\) .

2. En utilisant la question précédente, résoudre l'équation \(z^4-10z^3+38z^2-90z+261=0\) dans \(\mathbb{C}\) .

3. Déterminer la valeur du produit, puis celle de la somme, des quatre solutions obtenues.

Solution

1. On développe \((z^2+9)(z^2-10z+29)\)

2. \(S= \left\lbrace 3i ; -3i ; 5-2i ; 5+2i \right\rbrace\)

3. La somme des quatre solutions vaut 10, le produit vaut 261.